1 asal sayı mıdır? Asal Sayılar Nedir ve Hangileridir? 0 ve 1 asal sayı mı? Asal Sayı Nasıl Bulunur? En küçük asal sayı

Asal sayılar, matematikte çok önemli bir kavramdır. Asal sayılar, sadece kendisi ve 1’e bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal sayılardır. Asal sayılar, sayılar teorisinde ve kriptolojide çok kullanılır. Peki, asal sayılar hakkında neler biliyoruz? Bu yazıda, asal sayılarla ilgili en çok merak edilen soruların cevaplarını bulabilirsiniz.

0 ve 1 Asal Sayı Mı?

Asal sayı tanımına göre, 0 ve 1 asal sayı değildir. Çünkü 0 ve 1, sadece kendisi ve 1’e bölünebilen sayılar değildir. 0, hiçbir doğal sayıya bölünemez. 1 ise her doğal sayıya bölünür. Bu yüzden, asal sayıların en küçüğü 2’dir.

Asal Sayı Nasıl Bulunur?

Asal sayı bulmak için birçok yöntem vardır. Bunlardan en basit olanı, verilen bir sayının asal olup olmadığını kontrol etmektir. Bunun için, sayının kendisinden küçük olan tüm doğal sayılara bölünüp bölünmediğine bakılır. Eğer hiçbirine bölünmüyorsa, o sayı asaldır. Örneğin, 23’ün asal olup olmadığını kontrol etmek için, 23’ü 2’den başlayarak kendisinden küçük olan tüm doğal sayılara böleriz. Eğer hiçbirine tam bölünmüyorsa, o zaman 23 asaldır.

Bu yöntem basit olsa da, çok büyük sayıları kontrol etmek için çok zaman alır. Bu yüzden, daha hızlı ve etkili yöntemler geliştirilmiştir. Bunlardan bazıları şunlardır:

• Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılması, o sayının asallığını belirlemek için kullanılabilir. Bir sayının asal çarpanlarına ayrılması demek, o sayının sadece asal olan çarpanlarının bulunması demektir. Örneğin, 12’nin asal çarpanlarına ayrılması şöyledir: 12 = 2 x 2 x 3. Burada görüldüğü gibi, 12’nin sadece asal olan çarpanları 2 ve 3tür. Eğer bir sayının asal çarpanlarına ayrılması sonucunda sadece kendisi çıkarsa, o zaman o sayı asaldır. Örneğin, 17 = 17 x 1. Burada görüldüğü gibi, 17’nin sadece kendisi asaldır.

• Asal Testleri: Asal testleri, bir sayının asallığını belirlemek için kullanılan matematiksel yöntemlerdir. Asal testleri genellikle bir sayının belirli bir özelliğini kullanarak onun asallığını kanıtlamaya veya çürütmeye çalışır. Örneğin, Fermat’ın Küçük Teoremi adlı bir asal testi şöyledir: Eğer p bir asal sayıysa ve a da p ile aralarında asalsa (yani ortak bölenleri yoksa), o zaman a^(p-1) - 1 hep p’ye tam bölünür. Bu teoreme göre, eğer p bir asal sayı değilse, o zaman bu eşitlik sağlanmaz. Örneğin, p = 15 ve a = 2 için, 2^(15-1) - 1 = 32767 sayısı 15’e tam bölünmez. Bu yüzden, 15 asal değildir.

Asal testleri, çok büyük sayıları kontrol etmek için kullanışlıdır. Ancak, her asal testinin kendi avantajları ve dezavantajları vardır. Bazı asal testleri çok hızlı çalışırken, bazıları çok yavaş olabilir. Bazı asal testleri kesin sonuç verirken, bazıları yanılabilir. Bu yüzden, asal testleri kullanırken dikkatli olmak gerekir.

En Küçük Asal Sayı Nedir?

Asal sayı tanımına göre, en küçük asal sayı 2’dir. Çünkü 2, sadece kendisi ve 1’e bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardan en küçüğüdür.

En Büyük Asal Sayı Nedir?

En büyük asal sayıyı bulmak çok zordur. Çünkü asal sayılar sonsuzdur. Yani, ne kadar büyük bir sayı bulursak bulalım, ondan daha büyük bir asal sayı daha vardır. Bu yüzden, en büyük asal sayı diye bir şey yoktur.

Ancak, şu ana kadar bilinen en büyük asal sayı vardır. Bu sayı, Mersenne Asal Sayısı adı verilen bir tür asal sayıdır. Mersenne Asal Sayısı, 2^n - 1 şeklinde yazılabilen asal sayılardır. Burada n bir doğal sayıdır. Örneğin, 2^3 - 1 = 7 bir Mersenne Asal Sayısıdır.

Şu ana kadar bilinen en büyük asal sayı da bir Mersenne Asal Sayısıdır. Bu sayının değeri 2^82589933 - 1dir. Bu sayının basamak sayısı ise 24.862.048’dir. Bu devasa sayıyı bulmak için çok güçlü bilgisayarlar ve karmaşık algoritmalar kullanılmıştır.

Asal Olmayan Sayı Nedir?

Asal olmayan sayılar, asal olmayan doğal sayılardır. Asal olmayan doğal sayılar ise, sadece kendisi ve 1’e bölünebilen doğal sayılar dışındaki tüm doğal sayılardır. Örneğin, 4, 6, 8, 9, 10, 12 asal olmayan doğal sayılardır.

Asal olmayan doğal sayıların bir özelliği de, her zaman birden fazla asal çarpana sahip olmalarıdır. Yani, herhangi bir asal olmayan doğal sayının kendisinden küçük olan en az iki tane asal çarpanı vardır. Örneğin, 12 = 2 x 2 x 3. Burada görüldüğü gibi, 12’nin kendisinden küçük olan iki tane asal çarpanı vardır: 2 ve 3.

Kaç Tane Asal Sayı Var?

Asal sayıların sonsuz olduğunu kanıtlayan ilk kişi Antik Yunan matematikçisi Euclid’dir. Euclid’in kanıtını basitçe anlatmak gerekirse şöyledir:

• Diyelim ki elimizde sınırlı sayıda asal sayımız var: p1, p2, …, pn.
• Bu asal sayıların hepsini birbiriyle çarparsak bir sonuç elde ederiz: P = p1 x p2 x ... x pn.
• Şimdi bu sonuca 1 ekleyelim: P + 1.
• Bu yeni sayının (P + 1) hiçbir asala tam bölünmediğini gösterelim. Bunun için, elimizdeki asal sayıların her birine sırayla bölelim. Eğer P + 1 bir asala tam bölünüyorsa, o zaman o asal sayının P’yi de tam böldüğü anlamına gelir. Çünkü P + 1 ve P arasındaki fark 1’dir. Ancak, bu mümkün değildir. Çünkü P, elimizdeki asal sayıların hepsinin çarpımıdır. Yani, P’yi tam bölen hiçbir asal sayı yoktur. Bu yüzden, P + 1 de hiçbir asala tam bölünemez.
• Bu durumda, P + 1 ya kendisi asaldır ya da kendisinden büyük olan başka asal sayılara bölünebilir. Her iki durumda da, elimizdeki asal sayıların hepsinden büyük olan en az bir asal sayı daha olduğunu görürüz. Bu da, elimizdeki asal sayıların sınırlı olmadığını, yani sonsuz olduğunu kanıtlar.

• Bu kanıt, Euclid’in Öğeler adlı eserinde yer almaktadır. Bu eser, matematik tarihinin en önemli ve etkili kitaplarından biridir.

Hangi Sayılar Asal Sayı Değildir?

Asal sayı olmayan doğal sayılar dışında, asal sayı olmayan başka türde sayılar da vardır. Bunlardan bazıları şunlardır:

• Karmaşık Sayılar: Karmaşık sayılar, gerçek ve sanal kısımlardan oluşan sayılardır. Örneğin, 3 + 2i bir karmaşık sayıdır. Burada i, -1’in kareköküdür. Karmaşık sayılar, asal sayı tanımına uymazlar. Çünkü karmaşık sayılarda bölme işlemi tanımlanmaz. Yani, karmaşık sayılarda tam bölünebilme kavramı yoktur. Bu yüzden, karmaşık sayılar asal değildir.
• Rasyonel Sayılar: Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayılardır. Örneğin, 3/4, -5/2, 0, 1 rasyonel sayılardır. Rasyonel sayılar da asal değildir. Çünkü rasyonel sayılarda her zaman birden fazla çarpan bulunur. Örneğin, 3/4 = (3 x 1) / (2 x 2). Burada görüldüğü gibi, 3/4’ün birden fazla çarpanı vardır: 3, 1, 2. Bu yüzden, rasyonel sayılar asal değildir.
• İrrasyonel Sayılar: İrrasyonel sayılar, rasyonel olmayan gerçek sayılardır. Yani, irrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılamayan gerçek sayılardır. Örneğin, √2, π, e irrasyonel sayılardır. İrrasyonel sayılar da asal değildir. Çünkü irrasyonel sayılarda tam bölünebilme kavramı anlamlı değildir. Yani, irrasyonel sayılarda hiçbir doğal sayının katları yoktur. Bu yüzden, irrasyonel sayılar asal değildir.

Pi Sayısı Asal Mıdır?

Pi sayısı (π), dairenin çevresinin çapına oranını veren bir sabittir. Pi sayısı yaklaşık olarak 3,14159 olarak bilinir. Ancak, pi sayısı tam olarak bu değildir. Pi sayısı, sonsuz basamaklı bir ondalık sayıdır. Yani, pi sayısının basamakları hiçbir zaman bitmez ve tekrar etmez.

Pi sayısı, bir irrasyonel sayıdır. Yani, pi sayısı, iki tam sayının oranı olarak yazılamaz. Bu yüzden, pi sayısı asal değildir. Çünkü asal sayı tanımına göre, asal sayılar sadece doğal sayılardır. Pi sayısı ise bir doğal sayı değildir.

Asal Sayılar Neye Göre Sıralanır?

Asal sayılar, büyüklüklerine göre sıralanabilir. Yani, asal sayılar, küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralanabilir. Örneğin, küçükten büyüğe doğru ilk 10 asal sayı şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Asal sayılar, başka özelliklerine göre de sıralanabilir. Örneğin, asal sayılar, Mersenne Asal Sayısı olup olmamalarına göre sıralanabilir. Mersenne Asal Sayısı, 2^n - 1 şeklinde yazılabilen asal sayılardır. Örneğin, küçükten büyüğe doğru ilk 10 Mersenne Asal Sayısı şunlardır: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111.

1 ile Aralarında Asal Nedir?

1 ile aralarında asal olan sayılar, 1 ile ortak böleni olmayan sayılardır. Örneğin, 2 ve 3 aralarında asaldır. Çünkü 2 ve 3’ün ortak böleni yoktur. Ancak, 4 ve 6 aralarında asal değildir. Çünkü 4 ve 6’nın ortak böleni vardır: 2.

1 ile aralarında asal olan sayıların bir özelliği de, her zaman birbirleriyle aralarında asal olmalarıdır. Yani, eğer iki sayı da 1 ile aralarında asalsa, o zaman o iki sayı da birbirleriyle aralarında asaldır. Örneğin, 5 ve 7 hem 1 ile aralarında asaldır hem de birbirleriyle aralarında asaldır.

1 ile Her Sayı Asal Mıdır?

1 ile her sayının aralarında asal olduğu söylenemez. Çünkü 1 ile her sayının ortak böleni vardır: 1. Yani, 1 ile herhangi bir sayının en büyük ortak böleni (EBOB) hep 1’dir.

Ancak, bazen matematikte kolaylık olması için 1’in kendisi de bir asal sayı olarak kabul edilir. Bu durumda, 1 ile herhangi bir doğal sayının aralarında asal olduğu söylenebilir.

En Büyük Asal Sayı 1 Midir?

En büyük asal sayı diye bir şey yoktur. Çünkü asal sayılar sonsuzdur. Yani, ne kadar büyük bir asal sayı bulursak bulalım, ondan daha büyük bir asal sayı daha vardır.

Ancak, bazen matematikte kolaylık olması için 1’in kendisi de bir asal sayı olarak kabul edilir. Bu durumda, en büyük asal sayının değeri 1 olabilir.

İlk 100 Asal Sayılar

İlk 100 asal sayının listesi şöyledir: